Introduzione: la funzione di produzione come bersaglio mobile
Gli economisti scrivono l’output come funzione degli input—più notoriamente come “funzione di produzione”:
$$ Y = F(K, L, \ldots) $$
Questo sembra un rapporto tecnico, simile a un progetto ingegneristico. Eppure la storia della funzione di produzione mostra che è anche una metafora economica in evoluzione. Ciò che conta come input, che cosa significhi “tecnologia” e come li misuriamo sono cambiati man mano che cambiava l’economia stessa: da un mondo agrario in cui terra e rendita dominavano l’economia politica, a un’era industriale focalizzata sull’accumulazione di capitale e sul lavoro di fabbrica, fino a un’economia dell’informazione in cui conoscenza, dati, vincoli energetici e intelligenza artificiale mettono in discussione la vecchia cornice a due fattori. La funzione di produzione non è un’unica formula immutabile. È una famiglia di approssimazioni—utili, controverse, ripetutamente reinterpretate—che segue i colli di bottiglia mutevoli del capitalismo.
1. Origini (XVIII–XIX sec.): terra, rendimenti decrescenti e stato stazionario
I primi antenati delle funzioni di produzione emersero dai dibattiti sulle fonti del surplus. I Fisiocratici, guidati da François Quesnay, consideravano la terra come l’unica origine del “prodotto netto”. Il Tableau Économique (1758) di Quesnay non era una funzione di produzione nella notazione moderna, ma inquadrava l’economia come un flusso circolare in cui l’agricoltura generava un surplus che sosteneva il resto.
Adam Smith, in The Wealth of Nations (1776), spostò l’attenzione dalla terra alla divisione del lavoro e alla specializzazione—una prima intuizione secondo cui la produttività dipende dall’organizzazione e dalla conoscenza tanto quanto dagli input grezzi. La fabbrica di spilli di Smith era, di fatto, un argomento a favore dell’idea che $F(\cdot)$ non sia puramente tecnica; è plasmata da istituzioni e coordinamento.
L’economia politica classica si confrontò poi con la scarsità e i limiti. I Principles (1817) di David Ricardo enfatizzavano i rendimenti decrescenti su una terra fissa: al crescere della popolazione, la coltivazione si sposta su terreni meno fertili, facendo aumentare le rendite e comprimendo i profitti. Thomas Malthus, in modo analogo, temeva che i vincoli dell’offerta alimentare avrebbero prevalso. Erano idee proto–funzione di produzione: un fattore (la terra) di fatto fisso, un altro (lavoro/capitale applicati alla terra) in espansione, con prodotto marginale in calo.
Il Der isolierte Staat (1826) di Johann Heinrich von Thünen assunse una svolta più esplicitamente marginalista, ricavando i salari dalla produttività marginale in un contesto agricolo. Verso la metà del XIX secolo, Ricardo e John Stuart Mill anticiparono uno “stato stazionario”, in cui l’accumulazione si scontra con i rendimenti decrescenti e la crescita rallenta. Gli ingredienti concettuali erano in posto: fattori fissi, prodotto marginale e vincoli di lungo periodo.
2. Rivoluzione marginalista e formalizzazione (1870–1930): distribuzione, Euler e Cobb–Douglas (1928)
La rivoluzione marginalista (anni 1870) fornì la strumentazione analitica per formalizzare la produzione. William Stanley Jevons, Carl Menger e Léon Walras costruirono una prospettiva di equilibrio generale in cui sia il consumo sia la produzione rispondono a scambi marginali. I Principles of Economics (1890) di Alfred Marshall integrarono il ragionamento marginale con strumenti di equilibrio parziale, rendendo il “prodotto marginale” un concetto pratico per il lavoro applicato.
Un passaggio cruciale fu la teoria della produttività marginale della distribuzione—associata a John Bates Clark e Philip Wicksteed—che collegava i pagamenti ai fattori ai prodotti marginali. An Essay on the Co-ordination of the Laws of Distribution (1894) di Wicksteed stabilì un nesso celebre: se la funzione di produzione è omogenea di grado uno (rendimenti di scala costanti), allora il teorema di Eulero implica il “product exhaustion” (esaurimento del prodotto)—il prodotto totale viene pagato esattamente quando a ciascun fattore viene corrisposto il suo prodotto marginale. In termini moderni, per $Y=F(K,L)$ con rendimenti costanti,
$$ Y = F_K K + F_L L. $$
Questo risultato offriva una riconciliazione pulita tra mercati competitivi dei fattori e contabilità del reddito nazionale. Rendeva inoltre la scelta della forma funzionale politicamente ed empiricamente rilevante: le quote dei fattori potevano essere interpretate come parametri tecnologici.
Quella tensione si cristallizzò nella funzione di produzione empirica più influente dei primi decenni del XX secolo: la Cobb–Douglas, introdotta nel 1928 dal matematico Charles Cobb e dall’economista Paul Douglas. Cobb—matematico dell’Amherst College, noto anche come poeta e artista—si affiancò a Douglas, economista del lavoro che in seguito divenne U.S. Senator e che, fatto sorprendente, si arruolò nei U.S. Marines durante la Seconda guerra mondiale e rimase ferito a Okinawa a 50 anni.
Nel loro articolo del 1928, e dopo la presentazione di Douglas del 1927 all’American Economic Association (accolta con scetticismo), stimarono sui dati della manifattura statunitense (1899–1922) la forma:
$$ Y = A K^{\alpha} L^{1-\alpha}. $$
Il loro risultato di maggior rilievo fu la stabilità delle quote dei fattori: la quota del lavoro attorno a tre quarti e quella del capitale attorno a un quarto—interpretabili come $1-\alpha \approx 0.75$ e $\alpha \approx 0.25$ in presenza di mercati competitivi. La forma si impose solo gradualmente; Douglas trascorse circa due decenni a costruire evidenza comparata da altri paesi, e la Cobb–Douglas divenne ampiamente accettata entro la fine degli anni 1940. L’episodio contiene anche una nota cautelativa di econometria: i primi calcoli manuali includevano errori che in parte si compensavano tra loro, un promemoria scomodo del fatto che risultati eleganti possono essere fragili quando la misurazione è difficile.
Perché la Cobb–Douglas è durata nel tempo? Perché le sue proprietà erano trattabili e interpretabili:
- Rendimenti costanti se $\alpha + (1-\alpha)=1$.
- Elasticità di sostituzione unitaria tra $K$ e $L$.
- Quote dei fattori costanti uguali agli esponenti in concorrenza.
- Stima log-lineare:
$$ \ln Y = \ln A + \alpha \ln K + (1-\alpha)\ln L, $$
un vantaggio enorme in un’epoca precedente al calcolo moderno.
3. Tecnologia e neutralità (1930–1950): Hicks, Harrod, Solow e crescita bilanciata
Una volta messa a punto la funzione di produzione, la domanda successiva fu: che cos’è il “cambiamento tecnico”? Theory of Wages (1932) di John Hicks classificò il progresso tecnico in base a come sposta i prodotti marginali. Gli economisti iniziarono a rappresentare la tecnologia come uno spostamento variabile nel tempo:
- Hicks-neutral:
$$ Y = A(t)F(K,L). $$
- Harrod-neutral (labour-augmenting):
$$ Y = F(K, A(t)L). $$
- Solow-neutral (capital-augmenting):
$$ Y = F(A(t)K, L). $$
Questa tassonomia era importante perché i modelli di crescita di lungo periodo richiedevano coerenza con la “crescita bilanciata” (balanced growth): quote dei fattori stabili, un rapporto capitale-prodotto costante e un tasso di crescita costante della produzione per lavoratore. Sulla scia dei stylised facts di Kaldor e formalizzato in seguito dal teorema di Uzawa, gli economisti impararono che la crescita bilanciata con una funzione di produzione neoclassica richiede tipicamente, asintoticamente, un progresso tecnico Harrod-neutral (labour-augmenting, ossia accrescente il lavoro).
Il periodo vide anche un approccio rivale: la crescita Harrod–Domar, spesso associata a una produzione a coefficienti fissi (in stile Leontief) in cui la sostituzione è impossibile ($\sigma=0$). Quel quadro produceva dinamiche da “filo del rasoio” (knife-edge): la crescita è instabile a meno che l’investimento non corrisponda esattamente al tasso garantito (warranted rate)—un’ansia che rifletteva la volatilità tra le due guerre e i dibattiti sulla pianificazione nel post-Depressione.
4. Modello di Solow e residuo (1956–1960): il trionfo—e i limiti—della tecnologia esogena
Nel 1956, Robert Solow e Trevor Swan introdussero il modello neoclassico di crescita. Con rendimenti decrescenti del capitale, il solo accumulo non può sostenere un aumento del reddito per lavoratore; l’economia converge verso uno stato stazionario (steady state) a meno che la tecnologia non migliori. Una rappresentazione standard è:
$$ Y(t)=K(t)^{\alpha}\,[A(t)L(t)]^{1-\alpha}. $$
L’implicazione centrale era sobria: l’approfondimento del capitale (capital deepening) ha effetti transitori, ma la crescita di lungo periodo della produzione per lavoratore dipende dalla crescita esogena di $A(t)$.
Solow trasformò poi quel quadro in uno strumento empirico. In “Technical Change and the Aggregate Production Function” (1957), scompose la crescita statunitense e trovò che una larga quota non poteva essere spiegata dalla crescita misurata di $K$ e $L$. Questa componente non spiegata divenne il residuo di Solow, interpretato come crescita della total factor productivity (TFP). Moses Abramovitz colse il disagio con una formula memorabile, definendolo una “misura della nostra ignoranza”. Il residuo metteva insieme vera innovazione, cambiamento organizzativo, economie di scala, errore di misurazione e variazioni nell’utilizzo—tutto ciò che non riuscivamo a osservare in modo pulito.
5. Elasticità di sostituzione e CES (1961): una macchina più flessibile
La Cobb–Douglas imponeva un’elasticità di sostituzione unitaria. Nel 1961, Arrow, Chenery, Minhas e Solow proposero la funzione Constant Elasticity of Substitution (CES):
$$ Y = A\left[\alpha K^{\rho} + (1-\alpha) L^{\rho}\right]^{1/\rho},\quad \sigma = \frac{1}{1-\rho}. $$
Essa include casi chiave:
- Leontief ($\sigma=0$): nessuna sostituzione, proporzioni fisse.
- Cobb–Douglas ($\sigma=1$): il caso intermedio.
- Lineare ($\sigma\to\infty$): sostituti quasi perfetti.
Perché $\sigma$ conta? Perché governa il modo in cui le quote dei fattori reagiscono ai cambiamenti nella scarsità relativa. Se il capitale diventa abbondante (tramite accumulazione o attrezzature più economiche), allora con $\sigma>1$ il capitale può sostituire più facilmente il lavoro, potenzialmente riducendo la quota del lavoro. Se $\sigma<1$, la sostituzione è difficile e le quote dei fattori sono meno sensibili. Il lavoro empirico spesso trovò $\sigma$ al di sotto di 1 in molti settori, complicando le narrazioni di una sostituzione senza attriti.
Un ulteriore passo verso la flessibilità arrivò con la funzione di produzione translog (Christensen, Jorgenson e Lau, 1973), essenzialmente un’approssimazione di secondo ordine nei logaritmi, adatta alla stima econometrica quando la forma funzionale è incerta.
6. La controversia di Cambridge sul capitale (anni ’50–’60): si può misurare “K”?
La sfida teorica più grande della funzione di produzione era concettuale: che cos’è il capitale aggregato? Joan Robinson e Piero Sraffa (il versante “Cambridge UK”) sostennero che aggregare beni capitali eterogenei in un unico $K$ non è affatto immediato, perché i valori dipendono dalla distribuzione e dai tassi d’interesse. Fenomeni come il reswitching—in cui una tecnica diventa quella che minimizza i costi, poi non lo è più, e poi torna a esserlo al variare del tasso d’interesse—minavano relazioni monotone semplici tra “intensità di capitale” e prezzi dei fattori.
Paul Samuelson ammise notoriamente punti chiave nel 1966, riconoscendo che le parabole basate su un “capitale” misurato in modo uniforme potevano fallire. Franklin Fisher formalizzò in seguito condizioni restrittive in cui l’aggregazione funziona. Eppure, nella pratica, la funzione di produzione aggregata è sopravvissuta—non perché la controversia fosse stata “vinta”, ma perché restava un’approssimazione utile per la contabilità della crescita, la modellistica macro e i confronti tra paesi, purché gli utilizzatori rimanessero cauti nell’interpretazione.
7. Crescita endogena (anni 1980–90): rendere $A$ parte del modello
A partire dagli anni 1980, gli economisti respinsero sempre più l’idea di trattare $A(t)$ come manna dal cielo. L’idea di Kenneth Arrow del 1962 del “learning by doing” maturò in modelli in cui è l’accumulazione stessa ad aumentare la produttività. Il modello di Paul Romer del 1986 introdusse spillover di conoscenza e rendimenti crescenti, includendo semplici casi “AK”:
$$ Y = AK, $$
che eliminano i rendimenti decrescenti dei fattori accumulabili.
Robert Lucas (1988) enfatizzò il capitale umano, sostenendo che le competenze si accumulano e generano esternalità. Romer (1990) modellò idee non rivali prodotte tramite R&S sotto potere di monopolio, mentre Aghion e Howitt (1992) inquadrarono l’innovazione come distruzione creatrice schumpeteriana.
La crescita endogena incontrò anche disciplina: Charles Jones (1995) sostenne che i primi modelli implicavano effetti di scala implausibilmente forti (le economie più grandi dovrebbero crescere permanentemente più in fretta), spingendo verso impianti “semi-endogeni” in cui la scala influenza i livelli più che i tassi di crescita di lungo periodo. I contributi di Romer sono stati riconosciuti con il Premio Nobel 2018 (condiviso con Nordhaus).
8. Capitale umano ed empiria (1990–2000): Solow aumentato e misurazione dell’efficienza
La letteratura empirica sulla crescita degli anni 1990 combinò la logica della convergenza di Solow con input più ricchi. Mankiw, Romer e Weil (1992) proposero un modello aumentato:
$$ Y = K^{\alpha} H^{\beta} (AL)^{1-\alpha-\beta}, $$
dove $H$ è il capitale umano. Questo aiutò a spiegare la “convergenza condizionale”: i paesi più poveri crescono più rapidamente solo condizionatamente a risparmio, crescita della popolazione, istruzione e istituzioni.
Una letteratura parallela sottolineò che le differenze di reddito tra paesi sono dominate non dalle quantità misurate dei fattori, ma dalla TFP (Klenow; Rodríguez-Clare), riportando il residuo al centro dell’indagine.
Sulla frontiera dell’econometria, la stochastic frontier analysis (Aigner, Lovell, Schmidt; poi Battese e Coelli) scomponeva la produttività in (i) spostamenti della frontiera (tecnologia) e (ii) inefficienza (distanza dalla best practice). Questo aveva implicazioni per la policy: la crescita poteva venire dall’innovazione oppure dalla diffusione e da una migliore gestione.
9. Età dell’informazione e il paradosso della produttività: ICT, intangibili e la curva a J
La fine del XX secolo pose un enigma. Robert Solow scherzò nel 1987: “You can see the computer age everywhere but in the productivity statistics.” Problemi di misurazione (aggiustamento per la qualità, nuovi beni, servizi digitali non prezzati), ritardi nel cambiamento organizzativo e misurazione errata dell’output si contendevano il ruolo di spiegazione.
Tra la fine degli anni ’90 e l’inizio dei 2000, la crescita della produttività negli Stati Uniti accelerò e ricercatori tra cui Jorgenson, Oliner e Sichel ne attribuirono una parte rilevante ai settori produttori di ICT e all’approfondimento di capitale (capital deepening) legato all’uso dell’ICT. Tuttavia, la storia complessiva risultò disomogenea tra i paesi. Il ruolo del capitale intangibile—software, know-how organizzativo, marchi, sistemi di dati—divenne più centrale, mettendo in discussione le misure tradizionali di $K$.
Erik Brynjolfsson rese popolare una visione “a J-curve”: le nuove tecnologie general purpose (general-purpose technologies) inizialmente deprimono la produttività misurata mentre le imprese investono in innovazioni complementari. Nel frattempo, Robert Gordon sostenne che l’innovazione di frontiera stava rallentando, alimentando i dibattiti sulla “secular stagnation”. L’Italia divenne un caso emblematico di debole crescita della produttività dalla metà degli anni ’90, mostrando che adozione, concorrenza, istituzioni e dinamiche d’impresa possono dominare l’effetto della mera esistenza di una tecnologia.
10. Distribuzione del reddito e sostituzione tra fattori (anni 2000–): quota del lavoro, markups e il dibattito su $\sigma$
Dagli anni 2000, molti paesi hanno osservato una riduzione della quota del lavoro—una sfida diretta all’implicazione Cobb–Douglas di stabilità. Una spiegazione influente (Karabarbounis e Neiman, 2014) sostiene che beni d’investimento più economici aumentano il rapporto capitale-lavoro; se $\sigma>1$, la quota del lavoro diminuisce. Altri, come Oberfield e Raval, hanno contestato che la $\sigma$ aggregata superi 1 una volta trattate con attenzione la composizione settoriale e i markups.
Un’altra linea interpretativa enfatizza la struttura di mercato: le “superstar firms” (Autor, Dorn, Katz, Patterson, Van Reenen) con alta produttività e alti markups guadagnano quote di mercato, riducendo la quota aggregata del lavoro se impiegano meno lavoratori per dollaro di vendite. L’aumento dei markups e del potere di mercato reintroduce la concorrenza imperfetta in un mondo che era stato trattato come competitivo e basato sul prodotto marginale.
Capital in the Twenty-First Century (2014) di Thomas Piketty ha riacceso il dibattito sul fatto che $\sigma>1$ possa permettere alla quota del capitale di crescere persistentemente con l’accumulazione—un argomento che dipende sia dalla tecnologia sia dalle istituzioni.
11. Modelli basati sui compiti: dai fattori ai compiti e all’automazione
Un importante cambiamento concettuale è stato lo spostamento da “capitale vs lavoro” ai compiti svolti da diversi tipi di lavoro e dalle macchine. Zeira (1998) ha modellato la tecnologia come un’espansione dell’insieme dei compiti automatizzati. Acemoglu e Autor (2011) hanno sistematizzato gli approcci task-based per spiegare la polarizzazione: i compiti routinari a qualificazione intermedia vengono automatizzati, mentre si espandono i compiti astratti ad alta qualificazione e i servizi personali a bassa qualificazione.
Acemoglu e Restrepo (2018) hanno evidenziato tre effetti dell’automazione: spiazzamento (riduzione della domanda di lavoro nei compiti automatizzati), produttività (aumento dell’output) ed effetti di reinstatement/new-task (creazione di nuovi compiti in cui il lavoro ha un vantaggio comparato). In questa prospettiva, la “funzione di produzione” non è una liscia $F(K,L)$, ma un problema di assegnazione in evoluzione tra compiti, plasmato dal cambiamento tecnico diretto e dagli incentivi.
12. Oltre capitale e lavoro: energia, natura, dati e AI
La produzione moderna è vincolata da più di due input. Alcuni ricercatori (Ayres e Warr) sottolineano l’energia come motore fondamentale della crescita, sostenendo che il lavoro utile e i vincoli termodinamici contano per la produttività misurata. L’economia ambientale estende l’elenco degli input al capitale naturale e ai servizi ecosistemici. Solow ha a lungo sostenuto la sostituibilità, ma ne ha riconosciuto i limiti; Joseph Stiglitz e Partha Dasgupta hanno insistito sulla sfida contabile di attribuire un valore alla natura. Il Dasgupta Review (2021) ha riformulato la prosperità come gestione di un portafoglio di ricchezza inclusiva, non soltanto del PIL.
Le economie digitali introducono i dati come quasi-input: costosi da raccogliere, non rivali nell’uso e spesso combinati con effetti di rete. Jones e Tonetti modellano i dati come un input che può aumentare i rendimenti di scala o modificare la struttura di mercato a seconda di privacy e diritti di proprietà.
L’IA alza ulteriormente la posta. Se l’IA potenzia principalmente la “funzione di produzione delle idee”, allora il vincolo dell’economia può spostarsi dalla produzione di beni alla produzione di nuovi metodi. Lavori recenti (tra cui Aghion, Jones e Jones) esplorano se l’IA acceleri l’innovazione stessa, potenzialmente cambiando il tasso di crescita di lungo periodo — ma le stime empiriche restano altamente incerte. La funzione di produzione diventa doppiamente endogena: la tecnologia cambia la produzione e l’IA cambia il tasso al quale cambia la tecnologia.
Tabella riassuntiva
| Phase | Central idea | Typical form |
|---|---|---|
| Classics | Vincoli della terra, rendimenti decrescenti, surplus e distribuzione | $Y=F(L,\text{land})$ con rendimenti decrescenti su terra fissa |
| Marginalists | Prodotti marginali, distribuzione competitiva, formalizzazione | $Y=F(K,L)$; teorema di Eulero sotto CRS |
| 1928 | Funzione di produzione aggregata empirica; quote dei fattori stabili | $Y=AK^{\alpha}L^{1-\alpha}$ |
| 1950–60 | Progresso tecnico esogeno; contabilità della crescita | $Y=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$; residuo della TFP |
| 1961 | Sostituzione flessibile; stima di $\sigma$ | CES: $Y=A[\alpha K^{\rho}+(1-\alpha)L^{\rho}]^{1/\rho}$ |
| 1980s–90s | Tecnologia endogena, idee, capitale umano | $Y=AK$; $Y=K^{\alpha}H^{\beta}(AL)^{1-\alpha-\beta}$; modelli di R&S |
| 2000s | Spostamenti distributivi; markups; imprese superstar | Produzione con concorrenza imperfetta; quote variabili, imprese eterogenee |
| Today | Mansioni, vincoli energia/natura, dati/IA come input | Aggregazione basata sui task; $Y=F(K,L,E,\text{data},\text{AI})$; funzioni di produzione delle idee |
Conclusioni: dal fisso al flessibile, dall’esogeno all’endogeno, dall’aggregato al granulare
In due secoli emergono tre movimenti principali. Primo, gli economisti sono passati dai vincoli dei fattori fissi (la terra) a forme funzionali flessibili che consentono la sostituzione — e poi a un crescente scetticismo sull’idea che una singola forma sia quella “vera”. Secondo, sono passati dal trattare la tecnologia come esogena ($A(t)$) al modellare incentivi, istituzioni e struttura di mercato che generano innovazione, diffusione e differenze di produttività. Terzo, sono passati da rappresentazioni aggregate a due fattori verso modelli granulari di imprese eterogenee, task, intangibili e reti.
La funzione di produzione resta indispensabile, ma è un modello, non una legge di natura. I suoi parametri incorporano istituzioni e scelte di misurazione tanto quanto la realtà ingegneristica. I problemi aperti oggi si collocano dove un tempo stavano la terra del XVIII secolo e il capitale del XX secolo: valutare gli intangibili, riconciliare la distribuzione con la tecnologia in condizioni di concorrenza imperfetta, e capire se l’IA sia semplicemente un altro input — oppure un sistema che rimodella il meccanismo stesso dell’economia per creare nuovo $F(\cdot)$ in primo luogo.